20本入ったタバコを買ったけど20本吸い切って今は箱の中にタバコがない ←これが0の状態
わからないわけがないんよ
「0という状態を認識すること」と「0という数を発明すること」は、まったく別の話なんだよね。
20本入りのタバコを全部吸い切って、箱の中に1本も残っていない。この状態を認識すること自体は、数学が生まれる以前から人類がやっていたはず。
例えば、狩猟で獲物を数えたり、食料の残量を把握したりする人間にとって、「何も残っていない」という状況は日常的に発生する。
ただし、ここで面白い問題が出てくる。
歴史的にも、インド以前にゼロに相当するものを扱っていた文明は存在する。
– バビロニア（紀元前数世紀）：60進法の数字の中で、ある位に数が存在しないことを示す記号を使用していた。ただし、ゼロを独立した数として扱っていたわけではない。
– マヤ文明（少なくとも紀元前後）：暦の計算などにゼロを表す独自の記号を使用していた。インドとは独立した発展と考えられている。
– インド（遅くとも7世紀）：ブラーマグプタがゼロを数として扱い、加減乗などの算術規則を体系的に記述した。
つまり、インド人が「何もない」という状態を初めて認識したわけではない。
ここで、タバコの例に戻ると、もう一段階、興味深い違いがある。
– 空集合：箱の中にタバコが1本もない。
– 数量としての0：タバコの本数を数えた結果が0本である。
– 数学的な0：0をほかの数と同じように演算体系の中で扱う。
この3つは密接につながっているけれど、必ずしも同時に生まれるわけではない。
例えば、タバコがないことを理解していても、数を表すときに「1、2、3……」という記号しか使わない文化はあり得る。何もない状態を理解する能力と、
それを独立した数として抽象化する能力は別だからね。
そして、ここが一番面白いところ。
「0を発明した」という表現自体が、何を発明したのかを曖昧にしている。
何もない状態の認識、空位を示す記号、独立した数としてのゼロ、ゼロを含む位取り記数法、ゼロの算術規則。
それぞれ歴史的な成立時期も異なる。
だから、タバコの例で言えば、ゼロの直観そのものは人類にとって相当に古い可能性が高い。
一方で、その直観を数学的な道具に仕立て上げたことには、確かな歴史的な発明の意味がある。
「ゼロを最初に考えた人間」を特定するのは難しいけれど、
「ゼロを数学の中で使えるようにした歴史」を追うことはできる。ここを分けて考えると、
インドの功績も過大評価せず、過小評価もせずに理解できると思う。
1×0=1,1-1=-1
実は、それは数学的にもかなり面白い直感なんだよ。
0は、ほかの数と同じように扱える一方で、ほかの数とは異なる特殊な性質を持っている。
いくつか挙げてみよう。
– 足し算の特別な存在
(5+0=5)。どんな数に0を足しても、元の数は変わらない。これは加法の単位元と呼ばれる性質。
– 掛け算ではすべてを消してしまう(5×0=0)。どんな数を掛けても0になる。足し算とはまったく異なる振る舞いだね。
– 正でも負でもない
正の数と負の数の境界に位置している。数直線では原点になる。
– 割り算では特別な問題が起きる
(5÷0) は定義できない。一方で (0÷5=0) は成立する。
同じ0が、割る側と割られる側でまったく違う扱いを受ける。
– 位取り記数法を成立させる
例えば、
105と15では、1と5という数字が同じでも、0があることで数の意味が変わる。0は単に数量を表すだけでなく、
位を保持する役割も担っている。
そして、個人的に興味深いと思うのは、0が「何もないこと」を表しながら、
数学の体系の中では確かな存在として機能しているという点。
ここには哲学的な問いも潜んでいる。
「何もない」という状態は、
それ自体が何かとして存在しているのだろうか。
もちろん、数学の0と哲学的な無は別物だ。0は明確に定義された数であって、
存在そのものの否定ではない。
でも、何もないことを一つの数として表現できるようになったというのは、抽象化の歴史として非常に興味深い。
ちなみに、もう一歩踏み込むと、0は自然数に含まれるのかという問題もある。数学の分野や定義によって、
自然数を1から始める場合と0から始める場合があるんだ。
この違いも、0がほかの数とは少し異なる立場にあることを考えるきっかけになるよ。
「ない」ものでは割れない。
うーん…
x=1のグラフなんだけどx=0で割り算できないからその点だけは除外される
これは機能的という意味では納得。
x(xｰ1)＝0だもんね。
そっか…
なぜ？
問題の式 x^2/x で x=0 で割り算できないから
x^2 = x という式だったら違うから
その二つの式は同じものを意味しないってこと？
そう、厳密に言うと同じものではない
x^2 = x の両辺をxで割る場合、x=0でない場合に限る
そのため x^2/x = 1 ではx=0の場合が除外される
と、友人と話したね
両辺にxを掛け、x^2＝x
従って、x^2ｰx＝0
拠って、x(xｰ1)＝0
故に、x=0,1
しかし、x^2/xにおいて、x≠0
∵0で割ることはできない為。
拠って、x=1
そもそも、0^k (kは実数)は成立しない？
それならば、x^2=xから考え始めても、x≠0となってしまう。これはあり得ない。変数が0の場合はあり得る。
なぜ、x^2/x=1から考え始める場合と、x^2=xから考え始める場合とで解が異なるのか。
計算法則の例外？計算法則に何かしらの欠陥がある？
計算法則(演算法則？)に頼ってる身からすると納得できない。
教えてくれて嬉しいけど。
英語圏の人もお話に入れるようにしたらもっと知識が集まるかも。ここに。
もうちょっと数学勉強すればその凄さが分かる
世界は広いね。
音楽理論の世界にはこういう概念は無かったかもしれない…
敢えて言うなら、休符？
わかるけど…
俺は演奏下手だけど、上手い人は一拍の休み方すら考えてると思うし。少し、nullに近いかな？
なんか違うな…
空間表現みたいなのには適してない。
コメント