数学の面白問題あったら教えて！

解けたら辺の長さを時計回り(反時計回りでもいいけど)で順番に書いてくれたらすぐに正誤判定出来ます

ζ = cos(2π/15) + i sin(2π/15)として、

Σ_{k=1}^15 a_k ζ^k = 0
となる
{1,2,3,…,15}の並び替え{a_1,…,a_15}を見つければ良いことになる

激むずなのはこれをどう見つけるか

Σ_{k=1}^15 ζ^k = 0
みたいな式をめちゃ用意して
(例えば
k=0,5,10のみ係数が-1で他は1)
足してなんとか係数に差を生ませようとしたけど式が足りなくてダメだ

起きてたらヒントちょうだい

解かれるとは正直思ってなかったんだけど

ζ = cos(2π/15) + i sin(2π/15)

z= Σ_{k=0}^4 (3k+1)ζ^(3k)
=ζ^0+4ζ^3+7ζ^6+10ζ^9+13ζ^12とおく…(1)

ζ^3は1の5乗根より
ζ^0+ζ^3+ζ^6+ζ^9+ζ^12=0になることに注意すれば

ζ^5z = 2ζ^5+5ζ^8+8ζ^11+11ζ^14+14ζ^2…(2)

ζ^10z = 3ζ^10+6ζ^13+9ζ+12ζ^4+15ζ^7…(3)

で(1)+(2)+(3)をすると、ζ^5は1の3乗根より左辺は
(1+ζ^5+ζ^10)z=0

あとは右辺の係数を確かめればよい

という感じです

そこからζ^0+ζ^3+ζ^6+ζ^9+ζ^12=0を足して

係数を3で割って2余る数にシフトして

ζ^5を掛けて指数もずらすというのを同時にやっていく技です